Cho \(0\le a,b,c\le1\) và a+b+c = 2. Chứng minh:
ab + bc + ca \(\ge\) 2abc + \(\frac{20}{27}\)
Những câu hỏi liên quan
1. Cho a,b0. Chứng minh frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}gesqrt{a}+sqrt{b}2. Cho a,b,cinleft[0;1right].Chứng minh aleft(1-bright)+bleft(1-cright)+cleft(1-aright)le13. Cho a,b,c0. Chứng minh frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+frac{c^3}{c^2+ca+a^2}gefrac{a+b+c}{3}4. Cho a,b,c0thỏa mãn frac{1}{1+a}+frac{1}{1+b}+frac{1}{1+c}ge2. Chứng minh abclefrac{1}{8}5. Cho x,yge0thỏa mãn x^3+y^32. Chứng minh x^2+y^2le26. Cho a,b,cne0. Chứng minh frac{a^2}{b^2}+frac{b^2}{c^2}+frac{c^2}{a^2}lefrac{a}{c}+...
Đọc tiếp
1. Cho \(a,b>0\). Chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
2. Cho \(a,b,c\in\left[0;1\right].\)Chứng minh \(a\left(1-b\right)+b\left(1-c\right)+c\left(1-a\right)\le1\)
3. Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
4. Cho \(a,b,c>0\)thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\). Chứng minh \(abc\le\frac{1}{8}\)
5. Cho \(x,y\ge0\)thỏa mãn \(x^3+y^3=2\). Chứng minh \(x^2+y^2\le2\)
6. Cho \(a,b,c\ne0\). Chứng minh \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\le\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\)
7. Cho \(a,b,c\)là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh \(a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a-a^3-b^3-c^3-2abc>0\)
8. Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c\)
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
Đúng 0
Bình luận (0)
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 3
\(VT=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+b-\frac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+c-\frac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+ab+b^2\ge3ab\\b^2+bc+c^2\ge3bc\\c^2+ca+a^2\ge3ca\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\le\frac{a+b}{3}\\\frac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}\le\frac{b+c}{3}\\\frac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\le\frac{c+a}{3}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{a+b}{3}\\b-\frac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}\ge b-\frac{b+c}{3}\\c-\frac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\ge c-\frac{c+a}{3}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)( đpcm )
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Cho a, b, c >0 và a + b + c ≤ 3 . Chứng minh rằng :
\(\frac{4}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2021}{ab++bc+ca}\) ≥ 675
\(\frac{4}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2021}{ab+bc+ac}=\frac{4}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{ab+bc+ac}+\frac{4}{ab+bc+ac}+\frac{2013}{ab+bc+ac}\)
\(=4\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}\right)+\frac{2013}{ab+bc+ac}\)
\(\ge\frac{36}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{2013}{ab+bc+ac}\ge\frac{36}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{2013}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\ge4+671=675\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho \(0\le a,b,c\le1\)và a+b+c = 0. Chứng minh rằng \(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{ac+1}\le\frac{5}{a+b+c}\)
Vô lí vì a+b+c=0\(\Rightarrow\frac{5}{a+b+c}\)không có đáp án
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số a,b,c thỏa mãn \(0\le a,b,c\le1\) Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{bc+2}+\frac{b}{ca+2}+\frac{c}{ab+2}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)
---- Võ Quốc Bá Cẩn -----
Hóng 1 câu "EZ"
Đợi t qua thi nhé full.
cho 3 số a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2=1. chứng minh \(\frac{-1}{2}\le ab+bc+ca\le1\)
\(-1=-\left(a^2+b^2+c^2\right)=>-1\le2\left(ab+bc+ca\right).\\
< =>\left(a+b+c\right)^2\ge0.\)
Luôn đúng .
\(a^2+b^2+c^2=1\ge ab+bc+ca\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho \(0\le a,b\le1\)chứng minh \(a^4+b^3+c^2-ab-bc-ac\le1\)
Cho a,b,c thỏa mãn 1\(\ge\)a,b,c\(\ge\)0. chứng minh rằng \(a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le1\)
\(0\le a,b,c\le1\Rightarrow b\ge b^2;c\ge c^3\)
\(\Rightarrow a+b^2+c^3\le a+b+c\)
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-b-a+ab\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\le1\)
=> đpcm
19 tháng 11 2019 lúc 12:35
Cho a,b,c>0. Cmr: a) \(\frac{ab}{a^2+bc+ca}+\frac{bc}{b^2+ca+ab}+\frac{ca}{c^2+ab+bc}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
b) \(\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}\le1\)
a)\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab^3+ab^2c+a^2bc}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\frac{\sum_{cyc}\left(ab^3+ab^2c+a^2bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)\(\le\frac{\sum_{cyc}ab\left(a^2+b^2\right)+abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=VP\)
Xem thêm câu trả lời
0\(0\le a\le b\le c\le1\)chứng minh rằng \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}< 2\)HELP ME!!!!!!!!!!!!!!!!